Examen d'Algèbre SMPC 1 avec Corrigé Complet

Examen d’Algèbre – SMPC 1

Filière : SMPC 1
Matière : Algèbre
Durée : 2 heures
Calculatrice : Autorisée

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Examen

Exercice 1

1. Résoudre l’équation suivante : 2x + 5 = 13.
2. Factoriser l’expression : x² + 5x + 6.
3. Déterminer si x = 2 est une solution de l’équation x² - 3x + 2 = 0.

Exercice 2

1. Développer : (x + 3)(x - 2).
2. Réduire l’expression : 2x + 3x - 5 + 7.
3. Résoudre l’inéquation : 3x - 4 < 5.

Exercice 3

1. Résoudre le système :
   x + y = 5
   2x - y = 4
2. Calculer le déterminant de la matrice : [[2,3],[1,4]].
3. Déterminer si la matrice [[1,2],[3,4]] est inversible.

Exercice 4

1. Résoudre l’équation quadratique : x² - 7x + 12 = 0.
2. Factoriser : x² - 9.
3. Calculer x pour l’équation : (x - 1)(x + 2) = 0.

Exercice 5

1. Déterminer si la fonction f(x) = 2x² - 3x + 1 est croissante ou décroissante sur R.
2. Évaluer f(2) pour la fonction précédente.
3. Résoudre f(x) = 0 pour la fonction précédente.

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Corrigé complet

Exercice 1

1. 2x + 5 = 13 → 2x = 8 → x = 4.
2. x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).
3. x² - 3x + 2 = 0 → pour x=2 : 4 - 6 + 2 = 0 ✅, donc x=2 est solution.

Exercice 2

1. (x + 3)(x - 2) = x² - 2x + 3x - 6 = x² + x - 6.
2. 2x + 3x - 5 + 7 = 5x + 2.
3. 3x - 4 < 5 → 3x < 9 → x < 3.

Exercice 3

1. Système : x + y = 5 → y = 5 - x
   2x - y = 4 → 2x - (5 - x) = 4 → 3x - 5 = 4 → 3x = 9 → x = 3 → y = 2.
2. Determinant de [[2,3],[1,4]] = 2*4 - 3*1 = 8 - 3 = 5.
3. Determinant de [[1,2],[3,4]] = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2 ≠ 0 → la matrice est inversible.

Exercice 4

1. x² - 7x + 12 = 0 → (x - 3)(x - 4) = 0 → x = 3 ou x = 4.
2. x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
3. (x - 1)(x + 2) = 0 → x = 1 ou x = -2.

Exercice 5

1. f(x) = 2x² - 3x + 1 → a = 2 > 0 → la parabole est convexe → décroissante puis croissante.
2. f(2) = 2*4 - 6 + 1 = 3.
3. f(x) = 0 → 2x² - 3x + 1 = 0 → Δ = 9 - 8 = 1 → x = (3 ± 1)/4 → x = 1 ou x = 0.5

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Fin de l’examen – Algèbre SMPC 1