Examens d’Analyse S1 avec Corrigés – Révisions Université

🧮 Examen 1 d’Analyse S1 avec Corrigé

L’analyse mathématique est une matière fondamentale du premier semestre universitaire. Elle permet à l’étudiant d’acquérir les bases essentielles des limites, de la continuité, de la dérivation et de l’ étude des fonctions. Dans cet article, nous présentons un Examen 1 d’Analyse S1 suivi d’un corrigé complet et détaillé.

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📘 Examen 1 d’Analyse S1

Durée : 2 heures
Calculatrice : non autorisée

Exercice 1 : Limites (5 points)

1) Calculer les limites suivantes :

lim_x→0 (sin x / x)

lim_x→+∞ (3x² − 5x + 1) / x²

2) Calculer la limite suivante :

lim_x→1 (x² − 1) / (x − 1)

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Exercice 2 : Continuité (4 points)

Soit la fonction :

f(x) = x² si x ≠ 1
f(1) = 2

1) Calculer lim_x→1 f(x)
2) Étudier la continuité de f en x = 1.

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Exercice 3 : Dérivation (6 points)

1) Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f(x) = x³ − 3x + 1
g(x) = √x + 1/x

2) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x = 1.

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Exercice 4 : Étude de fonction (5 points)

Soit la fonction :

f(x) = x² − 2x

1) Calculer f'(x)
2) Étudier le signe de f'(x)
3) Étudier le sens de variation de f
4) Dresser le tableau de variations
5) Donner les éléments nécessaires au tracé de la courbe

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✅ Corrigé détaillé – Examen 1 d’Analyse S1

Correction Exercice 1

1)
On sait que :

lim_x→0 (sin x / x) = 1

Pour la deuxième limite :

(3x² − 5x + 1) / x² = 3 − 5/x + 1/x²

Lorsque x → +∞, on a 5/x → 0 et 1/x² → 0, donc :

lim_x→+∞ (3x² − 5x + 1) / x² = 3

2)
On factorise le numérateur :

x² − 1 = (x − 1)(x + 1)

(x² − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1

Donc :

lim_x→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2

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Correction Exercice 2

Pour x ≠ 1, on a f(x) = x².

lim_x→1 f(x) = lim_x→1 x² = 1

Or :

f(1) = 2

Comme lim_x→1 f(x) ≠ f(1), la fonction n’est pas continue en x = 1.

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Correction Exercice 3

1)

f'(x) = 3x² − 3

g'(x) = 1/(2√x) − 1/x²

2)
On calcule :

f'(1) = 0    et    f(1) = 1 − 3 + 1 = −1

L’équation de la tangente est :

y = f'(1)(x − 1) + f(1) = −1

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Correction Exercice 4

1)

f'(x) = 2x − 2

2) Étude du signe de f'(x) :

• f'(x) < 0 si x < 1
• f'(x) = 0 si x = 1
• f'(x) > 0 si x > 1

3) Sens de variation :

• f est décroissante sur (−∞, 1]
• f est croissante sur [1, +∞)

4) Le minimum est atteint en x = 1 :

f(1) = −1

5) La courbe est une parabole de sommet S(1, −1).

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📌 Examen universitaire – Analyse S1 (Corrigé complet)

🧮 Examen 2 – Analyse S1 avec Corrigé Complet

Dans ce deuxième examen d’Analyse S1, nous abordons des exercices différents afin de renforcer la compréhension des notions fondamentales : limites, continuité, dérivation et étude complète de fonctions. L’examen est suivi d’un corrigé détaillé et rigoureux.

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📘 Examen 2 d’Analyse S1

Durée : 2 heures
Calculatrice : non autorisée

Exercice 1 : Limites et asymptotes (5 points)

1) Calculer les limites suivantes :

lim_x→+∞ (2x² + 3x − 1) / (x² − x + 1)

lim_x→0 (1 − cos x) / x²

2) En déduire l’existence éventuelle d’une asymptote.

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Exercice 2 : Continuité et fonction définie par morceaux (4 points)

Soit la fonction f définie par :

f(x) =
x + 1    si x < 0
x²      si x ≥ 0

1) Étudier la continuité de f en x = 0.
2) La fonction est-elle continue sur ℝ ?

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Exercice 3 : Dérivation et extremum (6 points)

Soit la fonction :

f(x) = x³ − 3x² + 2

1) Calculer f'(x).
2) Déterminer les points critiques.
3) Étudier le sens de variation de f.
4) Déterminer les extremums locaux.

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Exercice 4 : Étude complète d’une fonction (5 points)

Soit la fonction :

f(x) = (x + 1)²

1) Déterminer le domaine de définition.
2) Calculer la dérivée f'(x).
3) Étudier les variations de f.
4) Donner le minimum de f.
5) Tracer la courbe représentative.

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✅ Corrigé détaillé – Examen 2 d’Analyse S1

Correction Exercice 1

1)

(2x² + 3x − 1)/(x² − x + 1) = (2 + 3/x − 1/x²)/(1 − 1/x + 1/x²)

Lorsque x → +∞, tous les termes en 1/x et 1/x² tendent vers 0.

lim_x→+∞ = 2

Deuxième limite :

lim_x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2

2)
La droite d’équation y = 2 est une asymptote horizontale.

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Correction Exercice 2

On calcule les limites en 0 :

lim_x→0⁻ f(x) = lim_x→0⁻ (x + 1) = 1

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ x² = 0

Les limites à gauche et à droite sont différentes.

Donc f n’est pas continue en x = 0.

Par conséquent, la fonction n’est pas continue sur ℝ.

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Correction Exercice 3

1)

f'(x) = 3x² − 6x

2) Points critiques :

3x² − 6x = 0 ⇔ 3x(x − 2) = 0

x = 0 ou x = 2

3) Étude du signe de f'(x) :

• f'(x) > 0 sur (−∞, 0)
• f'(x) < 0 sur (0, 2)
• f'(x) > 0 sur (2, +∞)

4) Extremums :

• Maximum local en x = 0 : f(0) = 2
• Minimum local en x = 2 : f(2) = −2

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Correction Exercice 4

1) Domaine de définition :

D_f = ℝ

2)

f'(x) = 2(x + 1)

3) Variations :

• f'(x) < 0 si x < −1
• f'(x) = 0 si x = −1
• f'(x) > 0 si x > −1

4) Minimum :

f(−1) = 0

5) La courbe est une parabole de sommet S(−1, 0).

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📌 Examen 2 – Analyse S1 avec corrigé complet

🧮Examen 3 d’Analyse I – SMPC S1 – Université Hassan II, Faculté des Sciences Aïn Chock (Janvier 2016)

✅Correction de l’Examen d’Analyse I – SMPC S1 – Université Hassan II (Janvier 2016)

Exercice 1 :

$$ \lim_{x \to 3} \frac{x\sqrt{x+1}-6}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} $$

$$ = \lim_{x \to 3} \frac{(x^3 + x^2 - 36)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} {(x-3)(x\sqrt{x}+1+6)} $$

$$ = \lim_{x \to 3} \frac{(x^2 + 4x + 12)(\sqrt{x}+\sqrt{3})} {x\sqrt{x}+1+6} $$

$$ = \frac{11\sqrt{3}}{2} $$

Donc f est prolongeable par continuité. Le prolongement par continuité de la fonction f est la fonction \(\tilde{f}\) définie et continue sur \(\mathbb{R}\) par :

$$ \tilde{f}(x)= \begin{cases} \dfrac{x\sqrt{x+1}-6}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} & \text{si } x \neq 3 \\ \dfrac{11\sqrt{3}}{2} & \text{si } x = 3 \end{cases} $$

Exercice 2 :

1. Montrons par récurrence sur n que

$$ 0 < u_n \le 1 $$

Pour \(n = 0\), on a

$$ 0 < u_0 = 1 \le 1 $$

donc c’est vrai.

Supposons que

$$ 0 < u_n \le 1 $$

et montrons que

$$ 0 < u_{n+1} \le 1 $$

On a

$$ 0 < u_n \le 1 \Rightarrow \frac12 < \frac{1+u_n}{2} \le 1 $$

D’où

$$ 0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < u_{n+1} \le 1 $$

c.à.d

$$ 0 < u_n \le 1 $$

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2. Montrons par récurrence que

$$ u_n \le u_{n+1}, \ \forall n \in \mathbb{N} $$

Pour \(n = 0\), on a

$$ u_0 = 1 \le u_1 = 1 $$

c’est vrai.

Supposons que

$$ u_n \le u_{n+1} $$

et montrons que

$$ u_{n+1} \le u_{n+2} $$

On a

$$ u_n \le u_{n+1} \Rightarrow \frac{1+u_n}{2} \le \frac{1+u_{n+1}}{2} \Rightarrow u_{n+1} \le u_{n+2} $$

Donc \((u_n)\) est croissante.

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3. La suite \((u_n)\) est croissante et majorée donc on en déduit qu’elle est convergente.

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4. Supposons que

$$ \lim_{n \to +\infty} u_n = l $$

donc

$$ l = \sqrt{\frac{1+l}{2}} \Rightarrow 2l^2 - l - 1 = 0 $$

donc

$$ l = 1 $$

Exercice 3 :

On considère la fonction g définie sur $$ [0,\sqrt{2}] $$ par

$$ g(x) = f(x) - \ln(1 + x^2) $$

1. \(g\) est continue sur \([0,\sqrt{2}]\).

2. \(g\) est dérivable sur \(]0,\sqrt{2}[\).

3.

$$ g(0) = f(0) - \ln(1) = 0 $$

et

$$ g(\sqrt{2}) = f(\sqrt{2}) - \ln(3) = 0 $$

donc

$$ g(0) = g(\sqrt{2}) $$

D’après le théorème de Rolle, on en déduit qu’il existe

$$ c \in ]0,\sqrt{2}[ $$

tel que

$$ g'(c) = 0 $$

Donc

$$ f'(c) - \frac{2c}{1 + c^2} = 0 $$

$$ f'(c) + c^2 f'(c) - 2c = 0 $$

Exercice 4 :

On pose

$$ f(t) = \frac{1}{\sqrt{t}} $$

1. \(f\) est continue, définie sur \(]0,+\infty[\) en particulier sur \([n,n+1]\), avec \(n \in \mathbb{N}^*\).

2. \(f\) est dérivable sur \(]n,n+1[\).

3.

$$ f'(t) = -\frac{1}{2t^{3/2}} $$

Donc d’après le T.A.F il existe

$$ c \in ]n,n+1[ $$

tel que

$$ f(n) - f(n+1) = f'(c)(n - (n+1)) $$

D’où

$$ \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{1}{2c^{3/2}} $$

Or

$$ n < c < n+1 \Rightarrow n^{3/2} < c^{3/2} < (n+1)^{3/2} $$

d’où

$$ \frac{1}{2(n+1)^{3/2}} < \frac{1}{2c^{3/2}} < \frac{1}{2n^{3/2}} $$

Donc

$$ \frac{1}{2(n+1)^{3/2}} < \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{2n^{3/2}} $$

Exercice 5 :

En effectuant un d.l à l’ordre 4

$$ \begin{aligned} ch x + \cos x - 2 &= \left(1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) + \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right) - 2 \\ &= \frac{x^4}{12} + o(x^4) \end{aligned} $$

En effectuant un d.l à l’ordre 5

$$ \begin{aligned} sh x + \sin x - 2x &= \left(x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right) + \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)\right) - 2x \\ &= \frac{x^5}{60} + o(x^5) \end{aligned} $$

Donc

$$ \lim_{x \to 0} \frac{sh x + \sin x - 2x}{x(ch x + \cos x - 2)} = \frac{1}{5} $$

Exercice 6 :

1. On pose

$$ f(x) = \arctan\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) - 2\arctan x $$

\( f \) est dérivable sur \( ]-1,\,1[ \), donc :

$$ f'(x) = \frac{\dfrac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2}} {1 + \left(\dfrac{2x}{1 - x^2}\right)^2} - 2\frac{1}{1 + x^2} $$

$$ = \frac{2 + 2x^2}{(1 - x^2)^2} \times \frac{(1 - x^2)^2}{(1 - x^2)^2 + 4x^2} - 2\frac{1}{1 + x^2} $$