Exercices et solutions d'Algèbre – Faculté des Sciences Ben M’Sik

📘 Série d’exercices – Algèbre

Cette série d’exercices est destinée aux étudiants de la Faculté des Sciences Ben M’Sik, filières SMI et SMC (Semestres S1 et S2). Les questions sont présentées d’abord, puis les solutions détaillées apparaissent à la fin.

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Questions

Exercice 1 : Espaces vectoriels

1. Montrer que u et v sont linéairement dépendants.
2. Déterminer si w est une combinaison linéaire de u et v.
3. Donner une base de l’espace engendré par {u, v, w}.

Exercice 2 : Applications linéaires

1. Montrer que f est linéaire.
2. Donner la matrice de f dans la base canonique.
3. Déterminer le noyau et l’image de f.

Exercice 3 : Matrices

1. Calculer A².
2. Calculer le déterminant de A.
3. Dire si A est inversible.

Exercice 4 : Systèmes linéaires

1. Résoudre le système suivant :

x + y + z = 6
2x + y + z = 7
x + 2y + z = 8

Exercice 5 : Rang d’une matrice

1. Calculer le rang de la matrice.
2. Dire si elle est inversible.

Matrice B :
| 1 2 3 |
| 2 4 6 |
| 1 1 1 |

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Solutions détaillées

Exercice 1 : Espaces vectoriels

Solution :
On remarque que v = 2u, donc u et v sont linéairement dépendants.
Toute combinaison de u et v est un multiple de u. Or w n’est pas un multiple de u, donc w n’est pas une combinaison linéaire de u et v.
Une base possible de l’espace engendré est {u, w}.

Exercice 2 : Applications linéaires

Solution :
On peut écrire f(x, y) = x(1, 2) + y(1, 1), donc f est linéaire.
La matrice associée dans la base canonique est :
| 1 1 |
| 2 1 |
Pour le noyau, résoudre f(x, y) = (0, 0) :
x + y = 0
2x + y = 0
On obtient x = 0, y = 0.
Ainsi : ker(f) = {(0, 0)} et Im(f) = ℝ².

Exercice 3 : Matrices

Solution :
A² =
| 7 10 |
| 15 22 |
det(A) = 1×4 − 2×3 = −2 ≠ 0.
Donc la matrice A est inversible.

Exercice 4 : Systèmes linéaires

Solution :
(2) − (1) ⇒ x = 1
(3) − (1) ⇒ y = 2
En remplaçant dans la première équation : 1 + 2 + z = 6 ⇒ z = 3
Solution : (x, y, z) = (1, 2, 3)

Exercice 5 : Rang d’une matrice

Solution :
La deuxième ligne est le double de la première, donc les lignes sont dépendantes.
Rang(B) = 2.
La matrice n’est donc pas inversible.

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Conclusion :
Cette série regroupe des exercices fondamentaux d’algèbre fréquemment rencontrés dans les contrôles et examens de la Faculté des Sciences Ben M’Sik.