Développements limités – Exercices corrigés SMPC S1 | Calculs de limites

📘 Développements limités – Exercices corrigés (SMPC S1)

Les développements limités constituent une notion fondamentale de l’analyse mathématique, indispensable pour les étudiants de la filière SMPC – Semestre 1. Ils permettent de comprendre le comportement local des fonctions, de simplifier le calcul des limites et d’établir des équivalents précis.

Objectif : maîtriser les développements limités, savoir les utiliser dans les calculs de limites et réussir les exercices d’examen.

1️⃣ Définition du développement limité

Soit une fonction f définie au voisinage de 0. On dit que f admet un développement limité à l’ordre n en 0 si :

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ + o(xⁿ)

Le polynôme obtenu est une approximation locale de la fonction. Plus l’ordre est élevé, plus l’approximation est précise.

2️⃣ Développements limités usuels à connaître

Certains développements doivent être appris par cœur car ils apparaissent dans presque tous les exercices de SMPC S1.

🔹 Fonction exponentielle

eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

🔹 Fonction logarithme

ln(1+x) = x − x²/2 + x³/3 + o(x³)

🔹 Fonctions trigonométriques

sin(x) = x − x³/6 + o(x³)

cos(x) = 1 − x²/2 + o(x²)

Attention : une erreur dans ces formules entraîne une erreur sur toute la limite.

3️⃣ Méthode générale de calcul d’un DL

1. Identifier le point de développement (souvent 0)
2. Réécrire l’expression pour utiliser des DL connus
3. Remplacer chaque fonction par son DL
4. Développer et simplifier
5. Garder uniquement les termes jusqu’à l’ordre demandé

4️⃣ Développements limités et équivalents

Deux fonctions f et g sont équivalentes en 0 si :

f(x) ∼ g(x) ⇔ lim (x→0) f(x)/g(x) = 1

Les équivalents permettent de simplifier énormément les calculs de limites.

5️⃣ Calcul de limites à l’aide des DL

Exemple corrigé :

Calculer : lim (x→0) (eˣ − 1 − x) / x²

On utilise le DL de eˣ :
eˣ = 1 + x + x²/2 + o(x²)

Donc la limite vaut 1/2.

6️⃣ Exercices corrigés – Niveau SMPC S1

Les exercices corrigés sont indispensables pour acquérir les bons réflexes et réussir les contrôles continus et examens finaux.

• Développement limité d’un produit de fonctions
• Limites avec formes indéterminées
• Recherche d’équivalents
• Comparaison de fonctions

7️⃣ Applications en physique et en analyse

Les développements limités sont utilisés en :

• Physique (approximation des mouvements)
• Mécanique classique
• Étude locale des courbes
• Résolution d’équations non linéaires

🔗 Ressources utiles – Exercices corrigés

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🎯 Conclusion

Les développements limités sont un pilier essentiel du programme de SMPC S1. Une bonne maîtrise de cette notion garantit la réussite en analyse mathématique et facilite l’apprentissage des chapitres avancés.